MENU
Главная » Файлы » Научные статьи » 08.00.00 Экономические науки

Устойчивость численного решения динамической модели средней фирмы. Гурьянов А.В., Мозжин И.Я.
25.05.2012, 21:38
Устойчивость численного решения динамической модели средней фирмы
Гурьянов А.В., Мозжин И.Я.

NUMERICAL STABILITY OF DYNAMICAL MODEL OF MEDIUM-SIZED COMPANY

Ивановский государственный университет, г. Иваново, Россия

Рассматривается ряд вопросов, связанных с оценкой устойчивости динамических моделей в экономических приложениях. Приведены результаты вычислительного эксперимента по сравнительному анализу численных методов решения задачи Коши.

Several problems of estimation stability dynamical models in economy applications are studied. Some results of numerical experiments on the comparative analysis of numerical methods for solving the Cauchy problem are discussed.

Ключевые слова: динамическая система, задача Коши, метод Рунге-Кутты-Фельберга, метод Рунге-Кутты-Дормана-Принса, странный аттрактор Лоренца.

Keywords: dynamical system, the Cauchy problem, Runge-Kutta-Fehlberg method, Runge-Kutta-Dormand-Prince method, Lorenz strange attractor.



Методы экономико-математического моделирования, возможности применения которых существенно расширились благодаря бурной компьютеризации общества, представляют собой один из наиболее динамично развивающихся разделов прикладной экономической науки. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его "информационным образом" - математической моделью - и дальнейшем изучении этой модели, как правило, с привлечением средств вычислительной техники. Такие вычислительные эксперименты позволяют подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте благодаря широкому применению современных вычислительных методов. Неудивительно, что методы компьютерного моделирования бурно развиваются, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими, до анализа сложнейших экономических и социальных процессов [3].

В последние три десятилетия в области экономической теории и математических методов в экономике значительную роль стали играть нелинейные динамические модели, которые более точно и адекватно описывают развивающиеся во времени процессы в сложных экономических системах. Все переменные в динамических моделях в общем случае зависят от времени t, которое выступает в качестве независимой переменной [5]. Рассматриваемая далее динамическая модель [1] представляет собой автономную систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями (задача Коши). Система дифференциальных уравнений называется автономной, если она не содержит явно независимой переменной t. В общем случае динамическая модель имеет вид



(1)

где , .

Аттракторами динамической системы называют точки или замкнутые линии в фазовом пространстве системы, притягивающие к себе все возможные траектории ее поведения с течением времени. При значении размерности фазового пространства возможен принципиально новый тип фазовых траекторий - так называемые странные аттракторы. Фазовая траектория динамической системы в этом случае представляет собой бесконечную линию без самопересечений, причем при траектория не покидает заданной области и не притягивается ни к точкам равновесия, ни к циклическим траекториям. Странному аттрактору соответствует сложное апериодическое движение, схожее с обыденным представлением о хаотическом процессе [5]. Наличие странного аттрактора обычно сопровождается сильной зависимостью фазовой траектории системы от ее начальных условий [5]. Отмечается так же, что переход динамической системы от одного типа фазовых траекторий к другому через неустойчивые, хаотические, возможен при варьировании параметров динамической системы, которое сказывается на изменении тенденции развития системы к тому или иному устойчивому состоянию ? аттрактору [1].

Точное решение нелинейных динамических моделей, как правило, невозможно, так как классы дифференциальных уравнений и систем, для которых разработаны аналитические методы решения, сравнительно узки и охватывают только малую часть возникающих на практике моделей. Поэтому на первый план выходят численные методы решения задачи Коши [3]. К сожалению, в большинстве случаев исследователи ограничиваются обсуждением устойчивости самой системы, но не уделяют внимания устойчивости численного интегрирования модели, полагаясь на применяемое проприетарное программное обеспечение.

Как правило, для решения задачи Коши используются численные методы Рунге-Кутты четвертого порядка. В данной работе с целью повышения точности и достоверности результатов моделирования применяются методы Рунге-Кутты высших порядков, а именно Фельберга и Дормана-Принса седьмого-восьмого порядка. Применение двух разных методов обусловлено необходимостью сравнительного анализа их эффективности.

Методы Рунге-Кутты имеют ряд важных достоинств: они обеспечивают хорошую точность; реализуют так называемую "явную" схему, т. е. значение решения в следующей точке вычисляется по ранее найденным значениям за определенное число действий по определенным формулам; предусматривается автоматическое управление шагом интегрирования с целью обеспечения требуемой точности решения. Все перечисленные выше особенности методов Рунге-Кутты очень ценны при расчетах на ЭВМ.

В ходе научно-исследовательской работы, проводимой авторами на математическом факультете ИвГУ, был разработан программный комплекс на языке C++ с использованием инструментария Qt4. Данный программный комплекс реализует методы Рунге-Кутты-Фельберга и Рунге-Кутты-Дормана-Принса 7-8 порядка для исследования динамических моделей произвольного порядка. Обеспечивается автоматический выбор шага интегрирования с учетом локальной погрешности на произвольном отрезке с равномерной сеткой разбиения. C помощью открытой графической библиотеки OpenGL реализовано построение анимированной фазовой траектории динамической модели, описываемой системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Применение библиотеки QWT позволяет визуализировать динамику модели и получить проекции фазовой траектории на координатные плоскости.

Вычислительный эксперимент по сравнительному анализу эффективности методов проводился с использованием предложенной в [1] системы, описывающей динамику фирмы, обладающей следующими средними (по региону) показателями: числом сотрудников, величиной оборотного капитала и объемом кредитования. Авторы [1] утверждают, что устойчивое состояние такой фирмы соответствует аттрактору "предельный цикл", т.е. периодическому движению с постоянными во времени характеристиками. В зависимости от интервалов значений управляющих параметров, определяемых внешними условиями, изменялась конфигурация предельного цикла. При определенном значении управляющих параметров фирма попадала в хаотический аттрактор, известный как аттрактор Лоренца [4]. Ниже приводится краткое описание модели.

Допустим, что в фирме работает сотрудников, а ее капитал, выраженный в некоторых условных единицах, равняется . С целью развития производственной базы или по другим каким-либо причинам фирма привлекает заемный капитал, например, в форме кредита. Если величина кредита сравнительно велика, то деятельность по его обслуживанию становится основной наряду с кадровой политикой и вложением капитала. Следовательно, величину кредита необходимо ввести в математическую модель фирмы в качестве третьей переменной . Необходимо определить: возможно ли в такой системе устойчивое состояние (аттрактор) и какому типу устойчивости оно соответствует. - скорость увеличения числа сотрудников; - скорость увеличения капитала фирмы. - скорость увеличения суммы кредита.

Скорость увеличения числа сотрудников пропорциональна числу новых сотрудников минус ту ее часть, которая связана с количеством уволившихся. Мы полагаем, что в большинстве случаев у фирмы с большим капиталом работает большее число сотрудников, т.е. количество новых сотрудников пропорционально капиталу фирмы . Количество же уволившихся составляет некоторую долю от числа имеющихся .

Скорость увеличения капитала пропорциональна доходу от вложения капитала минус расходную часть, связанную с оплатой труда сотрудников. При этом доход от вложения капитала пропорционален величине вложенного капитала , а расходы на сотрудников пропорциональны их количеству .

Скорость увеличения суммы кредита (если предприятие продолжает брать кредиты под новые проекты) пропорционален размеру капитала фирмы (мы считаем, что чем больше капитал фирмы, тем охотнее дают ей кредит), минус потери, обусловленные величиной взятого кредита (имеется ввиду необходимость оплачивать большой кредитный процент, а также то, что фирме с большим количеством кредитных обязательств новый кредит дают менее охотно).

Представим математическую модель средней фирмы в виде динамической системы трех дифференциальных уравнений:



(2)

где ? - коэффициент пропорциональности, показывающий, какую часть своего капитала может выделить фирма, чтобы привлечь новых сотрудников; ? - коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе различные причины, в результате которых сотрудник может уволиться (или его уволят); ? - коэффициент пропорциональности, показывающий эффективность вложения капитала (очевидно, что этот коэффициент зависит не только от мастерства руководителей фирмы, но и от благоприятного инвестиционного климата в регионе и, в частности, от налоговой политики); ? - коэффициент пропорциональности, обобщающий в себе величину затрат фирмы на сотрудников; ? - коэффициент пропорциональности, отражающий зависимость получения кредита от текущего капитала фирмы; ? - коэффициент пропорциональности, отражающий затруднения в получении кредита.

Система нелинейных уравнений (2) по своей структуре подобна известной системе Лоренца[4], которая в общем случае не имеет аналитического решения. В [1] приведены результаты моделирования при следующих значениях параметров: ?=5; ?=2,1; ?=8; ?=1; ?=4,1. Значение параметра ? варьировалось от 1 до 2, что изменяло поведение системы от странного аттрактора при ?=1, до четкого предельного цикла при ?=2. Данный эксперимент был воспроизведен нами в качестве тестового, результаты моделирования полностью совпали с опубликованными.

Однако, проводя некоторые аналогии с системой Лоренца, следует предположить, что предпочтительнее варьировать параметр ?. Поэтому дальнейшие эксперименты нами проводились при значениях параметров: ?=5; ?=1; ?=8; ?=1; ?=4,1. Параметр ? варьировался от 1 до 2. Моделирование проводилось на интервале времени от 0 до 500, разбитом на 100000 отрезков. Использовался адаптивный алгоритм управления шагом интегрирования с параметром точности равным 0,001. Вычисления производились с удвоенной точностью (64-битовая арифметика). Начальные условия: Y0 = (1, 1, 1). Как и предполагалось по аналогии с системой Лоренца, изменение параметра ? влияет на характер циклического поведения системы: от затухающих колебаний, сходящихся к стационарной точке, до странного аттрактора, в котором система совершает бесконечные псевдохаотические переходы между двумя циклическими ветвями.

В ходе вычислительного эксперимента была обнаружена ранее не описанная в литературе зависимость возникновения странного аттрактора не только от параметров динамической системы и начальных условий, но и от применяемого численного метода. Например, при значении ?=1,550 и при прочих равных условиях, решение, полученное методом Рунге-Кутты-Фельберга, имеет вид затухающих циклов, сходящихся к стационарной точке (Рис. 1), а решение, полученное методом Рунге-Кутты-Дормана-Принса, демонстрирует наличие странного аттрактора (Рис. 2).



а) б)

Рис. 1. Решение в безразмерных координатах, полученное по методу Рунге-Кутты-Фельберга 7-8 порядка:

а) фазовая траектория; б) графики.



а) б)

Рис. 2. Решение в безразмерных координатах, полученное по методу Рунге-Кутты-Дормана-Принса 7-8 порядка:

а) фазовая траектория; б) графики.

На Рис. 3 приведен снимок экрана визуализатора анимированных фазовых траекторий решений, полученных разными методами, при равных условиях. Сходящаяся к стационарной точке спираль, соответствующая решению, полученному методом Рунге-Кутты-Фельберга (светло-серый цвет), точно вписывается в просвет странного аттрактора, соответствующего решению, полученному по методу Рунге-Кутты-Дормана-Принса (черный цвет). Очевидно, что решения, полученные разными методами при равных условиях, демонстрируют качественно различную динамику модели, что абсолютно неприемлемо, поскольку исключает какую либо осмысленную экономическую интерпретацию результатов моделирования.

В ходе вычислительных экспериментов с другими динамическими системами, подобными системе Лоренца, в том числе и с ней самой, были обнаружены аналогичные зависимости момента возникновения странных аттракторов от применяемых численных методов. Это означает, что одной из причин псевдохаотического поведения решения динамической системы могут являться не только особенности самой системы, но и специфика применяемого численного метода, в частности - накопление погрешности интегрирования.

В заключение можно сделать вывод, что к прикладной интерпретации результатов численного моделирования динамических систем необходимо подходить крайне аккуратно, особенно в случае появления в решениях странных аттракторов, не смотря на очень привлекательные для прикладных областей свойства таких решений: цикличность и псевдостохастичность.



Рис. 3. Снимок экрана визуализатора анимированных фазовых траекторий решений при равных условиях. Светло-серый цвет - решение, полученное по методу Рунге-Кутты-Фелберга 7-8 порядка.

Черный - по методу Рунге-Кутты-Дормана-Принса 7-8 порядка.

Список использованной литературы

1. Шаповалов В.И., Каблов В.Ф., Башмаков В.А., Авакумов В.Е. Синергетическая модель устойчивости средней фирмы // В кн. Синергетика и проблемы теории управления - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. C.454-464.

2. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ. - М.: Мир, 1999. - 335 с.

3. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -320 с.

4. Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci., 1963, 20 (2). - С. 130-141.

5. Кузнецов С.П. Динамический хаос. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 356 с.
Категория: 08.00.00 Экономические науки | Добавил: GOD | Теги: Мозжин, решения, А.В., динамической, Гурьянов, фирмы., численного, средней, Устойчивость, модели
Просмотров: 3176 | Загрузок: 0 | Комментарии: 1
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]